Question

10．设方程x²+px+q=0的两根是tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）．且方程的这两个根之比为3：2，求p和q的值．

Answer 1

分析 由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的两个根，且这两个根之比为3：2列式求出tanθ，进一步求得tan（$\frac{π}{4}$-θ），再由根与系数的关系求得p和q的值．

解答 解：∵tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的两个根，且这两个根之比为3：2，
得$\frac{tanθ}{tan（\frac{π}{4}-θ）}=\frac{tanθ}{\frac{1-tanθ}{1+tanθ}}=\frac{3}{2}$，解得：tanθ=-3或tan$θ=\frac{1}{2}$，
则tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-2或tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1}{3}$．
由根与系数的关系可得：p=5，q=6或p=-$\frac{5}{6}，q=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查学生运用两角和与差的正切函数的能力，以及利用一元二次方程的根的分布与系数关系的能力，是中档题．