Question

如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A、B两点．
（1）若A、B两点的纵坐标分别为

4

5

、

12

13

，求cos（β-α）的值；
（2）已知点C(-1，

3

)，求函数f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的定义可得sinα，sinβ，再由同角三角函数的基本关系可得cosαcosβ，代入两角差的余弦公式可得；
（2）由数量积的运算可得f（α）=2sin(α-

π

6

)，由α得范围，逐步求范围可得答案．

解答：解：（1）根据三角函数的定义，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是锐角，所以cosα=

3

5

，因为β是钝角，所以cosβ=-

5

13

．
所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（2）由题意可知，

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
所以f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
因为0＜α＜

π

2

，所以-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，-

1

2

＜sin(a-

π

6

)＜

3

2

从而-1＜f(α)＜

3

，因此函数f(α)=

OA

•

OC

的值域为(-1，

3

)．

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，以及三角函数的运算公式和值域，属中档题．