Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，a₇=4a₃，前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn-4an-4

n

，n∈N^*，求b_n的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式求出公差，由此能求出a_n=-3n+5，S_n=

-3n2+7n

2

．
（Ⅱ） 由（I）得b_n=

Sn-4an-4

n

=

21

2

-

3

2

（n+

16

n

）．由基本不等式能求出b_n的最大值．

解答： 满分（14分）．
解：（Ⅰ） 设公差为d，由题意知
a₁+6d=4（a₁+2d），
由a₁=2解得d=-3，
故a_n=-3n+5，S_n=

-3n2+7n

2

，n∈N^*．…（8分）
（Ⅱ） 由（I）得
b_n=

Sn-4an-4

n

=

31

2

-

3

2

（n+

16

n

）．
由基本不等式得
n+

16

n

≥2

n• 16 n

=8，
所以b_n=

31

2

-

3

2

（n+

16

n

）≤

7

2

，又当n=4时，b_n=

7

2

．
从而得b_n的最大值为

7

2

．…（14分）

点评：本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力．