Question

用反证法证明：关于x的方程x²+4ax-4a+3=0、x²+（a-1）x+a²=0、x²+2ax-2a=0，当a≤-

3

2

或a≥-1时，至少有一个方程有实数根．

Answer 1

分析：至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法

解答：解：设三个方程都没有实根，
则有判别式都小于零得：

- 3 2 ＜a＜ 1 2 a＞ 1 3 或a＜-1 -2＜a＜0

?-

3

2

＜a＜-1，
与a≤-

3

2

或a≥-1矛盾，
故原命题成立；

点评：本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用