Question

【题目】如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，利用法向量计算余弦值即可；

(Ⅲ)利用空间向量求得点Q的坐标，然后结合点P的坐标可得线段的长.

（Ⅰ）∵顶点在底面上的射影在棱上，

∴平面平面，

∵，∴，

∵平面平面，∴平面，面，∴，

由，，得，∴，

∵，∴平面．

（Ⅱ）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，则，

取，得，

，，

设平面的法向量，则，

取，则，

设二面角的平面角为，则．

∴二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设，，

因为平面，所以

所以，，所以．