Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝x³－ax²＋bx－c＝0有三个实根x₁，x₂，x₃．

(1)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；

(2)若a，b，c均大于零，证明：x₁、x₂、x₃都大于零；

(3)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β处取得极值，且－1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得，比较两边系数， 　　得…………2分 　　(2)由c＞0，得，三数中或全为正数或一正二负． 　　若为一正二负，不妨设得 　　 　　又＝ 　　这与b＞0矛盾，所以全为正数，…………6分 　　(3)令有三个不等的实数根，则函数 　　有一个极大值和一个极小值，日极大值大于0，极小值小于0． 　　由已知，得有两个不等的实根 　　 　　 　　又 　　…………9分 　　处取得极大值，在x＝处取得极小值． 　　故要有三个不等的实数根，则必须得 　　………………12分