Question

设函数，
（I）求证：当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）内为单调函数；
（II）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

解：（I）∵，
①当a≥1时，∵，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＜0，得；
由f′（x）＞0得；
∴当0＜a＜1时，f（x）在，为增函数，
∴当0＜a＜1时，f（x）在[0，+∞）上不是单调函数；
综上，当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）上为单调函数．
（II）由（I）①知当a≥1时f（x）单调递减，不合； 由②知当f（x）在[1，+∞）上单调递增等价于：，∴，即a的取值范围是．
分析：（I）先求函数的导数f′（x），再证明a≥1时，f′（x）＜0，f（x）单调；而a＜1时，f′（x）先负后正，f（x）不单调
（II）由（1）知a≥1时f（x）单调递减，不合题意，当0＜a＜1时，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需[1，+∞）是函数单调增区间的子区间，可求a的范围
点评：本题考查了导数在函数的单调性上的应用，解题时要学会对参数进行讨论，做到不重不漏，还要注意一题中两问间的关系