Question

(本小题10分)如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，

（1）求证：AC⊥BF；

（2）求点A到平面FBD的距离. 

 

Answer 1

【答案】

 （1）见解析（2）

【解析】本题考查异面直线垂直的证明、点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．

（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．

（2）求出向量AD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．

解法1：由得,故AD²=AC²+CD^2，,,所以CD⊥CA

以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，  

                           

   （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

,, ,

   （2）,

由,可得,

点A到平面FBD的距离为d,

解法2 ：（1）由得,故BC²=AC²+AB^2，,,所以AC⊥AB 

因为ACEF是矩形，AC⊥AF，所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF

（2）由，得