题目内容
已知函数f(x)=
x3+ax-1(a∈R),其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求a的值;
(2)设g(x)=f′(x)-ax-4,若对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立,求x的取值范围;
(3)设a=-p2时,若函数f(x)的图象与直线y=2只有一个公共点,求实数p的取值范围.
解:(1)f′(x)=4x2+a,f′(1)=4+a=2,
所以a=-2.
(2)g(x)=f′(x)-ax-4=4x2-ax+a-4,
令φ(a)=(1-x)a+4x2-4,因为对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立等价于对一切|a|≤1,都有φ(a)＜0恒成立,所以即
解得
＜x＜1.
则当x∈(
,1)时,对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立.
(3)当a=-p2时,f′(x)=4x2-p2.
①当p=0时,f(x)=
x3-1在(-∞,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的图象与直线y=2有一个公共点.
②当p≠0时,f′(x)=(2x+|p|)(2x-|p|).
令f′(x)=0,得x=±
.
所以当x∈(-∞,
),x∈(
,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,
当x∈(-
,
)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.
因此f(x)的极小值f(
)=
(
)3+(-p)2
-1=-
p2|p|-1＜-1.
又f(x)的值域为R,当x∈(
,+∞)时,f(x)单调递增,则一定与直线y=2有交点,
因此只要f(
＜2即可.
而f(
)=
(
)3-p2(
)-1=
|p|3-1＜2.
解得
＜p＜
,且p≠0.
综上①②可得实数p的取值范围是
＜p＜
.
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