Question

已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），

（1）求g（x）的单调区间；

（2）当a=1时，    ①比较的大小；

②是否存在x₀＞0，使得|g（x）﹣g（x₀）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 【解析】，

g（x）的定义域为（0，+∞）．

①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；

②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，

即增区间是，减区间是．

（2），

∴

①当x=1时，μ（x）=0，此时

②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴

③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．

（3）⇔

⇔

∵lnx∈（0，+∞），∴g（x₀）＞lnx不能恒成立．

故x₀不存在．