Question

(本题满分14分)
如图1，直角梯形中, 四边形是正方形,,.将正方形沿折起，得到如图２所示的多面体,其中面面,是中点．
(1) 证明：∥平面；
(2) 求三棱锥的体积.
     
图１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图２

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作出辅助线MN，N为中点，在中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形ABMN为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得∥平面；第二问，利用面面垂直的性质，判断面，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面，所以作，则利用面面垂直的性质，可得平面，则为三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式求体积即可.
(1)证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，所以∥ ．由已知∥，，所以∥，且．所以四边形为平行四边形，所以∥．  ３分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．       4分
（２）面面，面，
面面，，面
又面，       6分
梯形中，,，,
所以，, ,
,所以, 平面       8分
又平面,所以，平面平面　
作,则平面，是所求三棱锥高       10分

在直角三角形中，由面积关系可得，又
所以，              14分
另解：∥,面,面,∥平面,
两点到平面距离相等       7分
因为翻折后垂直关系不变，所以平面,是三棱锥高  9分
面面，面，面面，，面，, 是直角三角形      11分
　 14分