Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）若曲线在点处的切线为，求a的值；

（2）若函数的极小值为，求a的值；

（3）若，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由可解得结果；

（2）利用导数可得，即，再构造函数，利用导数证明该方程有唯一实根，则可得到答案；

（3）即证，转化为证明当时，（i）；（ii），利用导数分别证明即可.

（1），

由题意得，

∴，∴.

（2）当时，∵，∴递减，∴没有极值；

当时，，

∵，，

∴在区间上递减，在区间上递增，

∴时，取极小值.

即，∴，

令，则，

∴在上递增，又，

∴方程有唯一解.

∴当且仅当时，的极小值为；

（3）

以下分别证明：当时，有

（i）；（ii）.

（）令，，则，因为，所以，

所以在上递减，所以，即；

（）时，显然成立；

时，.

令，

则，

当时，由（）知，，所以，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

∴，∴.

∴，

∴.