Question

【题目】已知椭圆： （）与轴交于， 两点， 为椭圆的左焦点，且是边长为2的等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于， 两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴交于点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由是边长为2的等边三角形，很容易得，从而得椭圆方程；

（Ⅱ）直线与椭圆相交问题，设交点为，则有，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得，写出直线方程，求出点坐标为，又直线过定点，因此，可用表示出来，可设换元后求得其取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）依题意可得，且，

解得， .

所以椭圆的方程是.

（Ⅱ）由消，得.

设， ，则.

且， .

经过点， 的直线方程为.

令，则 .

又， ，

故当时，

.

所以

直线过定点

令，则

在上单调递减

.