Question

7．求d的最大、最小值．
d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 由辅助角公式可得t=2cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=$\sqrt{7}$cos（θ-φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得t∈[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]，由绝对值的意义可得．

解答 解：设t=2cosθ+$\sqrt{3}$sinθ
=$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$sinθ）
=$\sqrt{7}$cos（θ-φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴t∈[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]，
∴当t=$\sqrt{7}$时，d取最小值$\frac{|\sqrt{7}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2}$；
当t=-$\sqrt{7}$时，d取最大值$\frac{|-\sqrt{7}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及辅助角公式和绝对值，属基础题．