Question

如图，点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

Answer 1

剖析：(1)由⊥，得·=0和椭圆方程联立出方程组求出点P的坐标.

(2)利用函数思想方法，求出d²的最小值.

解：(1)由已知可得点A(-6,0)、F(4,0).

设点P的坐标是(x,y)，则=(x+6,y),=(x-4,y).

    由已知得

    则2x²+9x-18=0,x=或x=-6.

    由于y＞0,只能x=,于是y=.

所以点P的坐标是(,).

    (2)直线AP的方程是x-y+6=0，设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是=|m-6|.

    又-6≤m≤6，解得m=2.

    椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

    d²=(x-2)²+y²=x²-4x+4+20-x²=(x-)²+15.

    由于-6≤x≤6,∴当x=时，d取得最小值.

讲评：方程组、函数的思想方法在解决平面解析几何中有着非常重要的作用.