Question

【题目】数列,定义为数列的一阶差分数列,其中.

(1)若,试断是否是等差数列,并说明理由；

(2)若证明是等差数列,并求数列的通项公式；

(3)对(2)中的数列,是否存在等差数列,使得对一切都成立,若存在,求出数列的通项公式；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，；（3）存在，且.

【解析】

（1）通过计算证得是等差数列.

（2）根据，得到，利用凑配法证得是等差数列,并求得数列的通项公式.

（3）先求得，由此求得，再利用组合数公式，证得符合要求.

（1）由于，所以，所以，且.所以是首项为，公差为的等差数列.

（2）由于，，所以，即，两边除以得，所以是首项为，公差为的等差数列，故，即.

（3）存在，且符合题意.

依题意.当时，；当时，，即，而是等差数列，故只能.下证符合题意.

由于，所以根据组合数公式有符合题意.