题目内容
已知实数x，y分别满足：（x-3）3+2014（x-3）=1，（2y-3）3+2014（2y-3）=-1，则x2+4y2+4x的最小值是（ ）
| A、0 | B、26 | C、28 | D、30 |
分析：由于（x-3）3+2014（x-3）=1，（2y-3）3+2014（2y-3）=-1，两式相加再利用乘法公式可得：
（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2]+2014（x+2y-6）=0．由于
（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2≥0，可得x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．
（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2]+2014（x+2y-6）=0．由于
（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2≥0，可得x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：∵（x-3）3+2014（x-3）=1，（2y-3）3+2014（2y-3）=-1，
两式相加可得：（x-3）3+（2y-3）3+2014（x-3）+2014（2y-3）=0，
化为（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2]+2014（x+2y-6）=0，
∴（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2+2014]=0，
∵（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2≥0，
∴必有x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x得到
z=x2+（6-x）2+4x=2x2-8x+36=2（x-2）2+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值．
故选：C．
两式相加可得：（x-3）3+（2y-3）3+2014（x-3）+2014（2y-3）=0，
化为（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2]+2014（x+2y-6）=0，
∴（x+2y-6）[（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2+2014]=0，
∵（x-3）2-（x-3）（2y-3）+（2y-3）2≥0，
∴必有x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x得到
z=x2+（6-x）2+4x=2x2-8x+36=2（x-2）2+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值．
故选：C．
点评：本题考查了乘法公式和二次函数的单调性，属于中档题．
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