Question

设等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，已知S₄=24，a₂a₃=35．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=

1

anan+1

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，解方程组

a2+a3=12 a2•a3=35

，结合等差数列{a_n}的公差d＞0，可求得a₂=5，a₃=7，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用裂项法知，b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），从而可求{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S₄=

4(a1+a4)

2

=2（a₂+a₃）=24
∴a₂+a₃=12，又a₂a₃=35，
即

a2+a3=12 a2•a3=35

，解得

a2=5 a3=7

或

a2=7 a3=5

，
∵d＞0，
∴a₂=5，a₃=7，
∴d=a₃-a₂=2，
∴a₁=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）
=

n

6n+9

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与裂项法求和，属于中档题．