题目内容
已知二次函数f（x）=tx2+2tx（t≠0）
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若t=1，记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，an＞0），点(
+
，2an+1)在函数f（x）的图象上，求Sn的表达式．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若t=1，记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，an＞0），点(
| Sn+1 |
| Sn |
分析：（I）对t分类讨论，结合根的判别式，即可求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）利用点(
+
，2an+1)在函数f（x）的图象上，可得2an+1=(
+
)2+2(
+
)，化简可得{
+1}是首项为2，公比为3的等比数列，从而可求Sn的表达式．
（Ⅱ）利用点(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn |
解答：解：（Ⅰ）f（x）＞1即：tx2+2tx-1＞0，
①t＞0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t＞0----（1分）
方程两根为x=
----（2分）
解集是(-∞，
)∪(
，+∞)----（3分）
②t＜0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t
（1）当4t2+4t≤0，即-1≤t＜0时，解集是φ----（4分）
（2）当4t2+4t＞0即t＜-1时，解集是(
，
)----（5分）
综上所述，t＞0时，解集是(-∞，
)∪(
，+∞)；-1≤t＜0时，解集是φ；t＜-1时，解集是(
，
)----（6分）
（Ⅱ）由题意，f（x）=x2+2x
∵点(
+
，2an+1)在函数f（x）的图象上，
∴2an+1=(
+
)2+2(
+
)----（7分）
整理得(
+
)(
+
+2)=2an+1=2(Sn+1-Sn)=2(
+
)(
-
)
∴
+
+2=2(
-
)
∴
=3
+2----（9分）
∴(
+1)=3(
+1)，
又
+1=
+1=2，----（10分）
所以{
+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴
+1=2•3n-1
∴Sn=(2•3n-1-1)2，n∈N+----（12分）
①t＞0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t＞0----（1分）
方程两根为x=
-t±
| ||
| t |
解集是(-∞，
-t-
| ||
| t |
-t+
| ||
| t |
②t＜0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t
（1）当4t2+4t≤0，即-1≤t＜0时，解集是φ----（4分）
（2）当4t2+4t＞0即t＜-1时，解集是(
-t-
| ||
| t |
-t+
| ||
| t |
综上所述，t＞0时，解集是(-∞，
-t-
| ||
| t |
-t+
| ||
| t |
-t-
| ||
| t |
-t+
| ||
| t |
（Ⅱ）由题意，f（x）=x2+2x
∵点(
| Sn+1 |
| Sn |
∴2an+1=(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
整理得(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
∴
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
∴
| Sn+1 |
| Sn |
∴(
| Sn+1 |
| Sn |
又
| S1 |
| a1 |
所以{
| Sn |
∴
| Sn |
∴Sn=(2•3n-1-1)2，n∈N+----（12分）
点评：本题考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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