Question

在数列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且当n≥2时，数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

nan

2

．
（I）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）令Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，Q_n是数列{P_n}的前n项和，求证：Q_n＜2n+3．

Answer 1

分析：（I）当n≥3时，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

可得

an

an-1

=

n-1

n-2

，利用累加法可求通项
（II）由等差数列的求和公式可求s_n，代入Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，结合数列的特点可以利用裂项求和

解答：解：（I）当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

∴

an

an-1

=

n-1

n-2

∴an=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

…

2

1

•2= 2(n-1)
当n=1，2时，上式成立
∴a_n=2（n-1）
（II）证明：由（I）可得Sn=

2n(n-1)

2

=n(n-1)
∴Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

n(n+1)

(n+1)(n+2)

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

∴Qn=2n+2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=2n+3-

4n+6

(n+1)(n+2)

＜2n+3

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及裂项、分组求和方法的应用，属于数列知识的简单应用．