Question

已知函数y=sin（2x）-8（sin x+cos x）+19（0≤x≤π），求函数y的最大值与最小值．

Answer 1

分析：利用换元法t=sinx+cosx，求出函数关于t的表达式，利用配方法求出函数的最值．

解答：解：令t=sinx+cosx，则t=

2

sin（x+

π

4

），（4分）
∵0≤x≤π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
即-1≤t≤

2

．
由t=sinx+cosx两边平方得2sinxcosx=t²-1，
∴sin2x=t²-1（10分）
y=t²-1-8t+19，即f（t）=（t-4）²+2，
∵-1≤t≤

2

∴y_max=f（-1）=27y_min=f（

2

）=20-8

2

（14分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力，注意换元法中元的取值范围，是易错点．