题目内容

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=1，M、N分别是棱A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，MN⊥A₁B．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的高a及MN的长；
（2）动点P在B₁C₁上移动，问P在何位置时，△PA₁B的面积才能取得最小值．

解：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系， $\text{[math]}$ ={1，0，-a}， $\text{[math]}$ ={ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ }，．由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）设P（t，1-t，1），于是， $\text{[math]}$ ={t，1-t，0}， $\text{[math]}$ ={1，0，-1}，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为θ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．即当与N重合时，△PA₁B的面积才能取得最小值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积为0，可求高a及MN的长；
（2）假设动点P的坐标，进而表示出，△PA₁B的面积，再求最小值．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查利用空间向量解决立体几何问题，关键是空间直角坐标系的建立．