题目内容
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=BB1=1,AB1=3 |
(1)求证:平面AB1C⊥平面B1CB;
(2)求三棱锥A1-AB1C的体积.
分析:(1)要证平面AB1C⊥平面B1CB,根据面面垂直的判定定理,只要在平面平面AB1C内找一直线垂直平面B1CB,根据已知条件可证BB1⊥AC,AC⊥BC,从而可得
(2)由(1)可知B1C1⊥平面A1AC,故考虑利以B1为顶点求解体积,即利用VA1-AB 1C =VB 1-A 1AC 进行求解
(2)由(1)可知B1C1⊥平面A1AC,故考虑利以B1为顶点求解体积,即利用VA1-AB 1C =VB 1-A 1AC 进行求解
解答:解:(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,
则BB1⊥AB,BB1⊥BC,(3分)
又由于AC=BC=BB1=1,AB1=
,则AB=
则由AC2+BC2=AB2可知,AC⊥BC,(6分)
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC,则AC⊥平面B1CB,
所以有平面AB1C⊥平面B1CB;(9分)
(2)三棱锥A1-AB1C的体积VA1-AB1C =VB1-A1AC=
×
×1=
则BB1⊥AB,BB1⊥BC,(3分)
又由于AC=BC=BB1=1,AB1=
3 |
2 |
则由AC2+BC2=AB2可知,AC⊥BC,(6分)
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC,则AC⊥平面B1CB,
所以有平面AB1C⊥平面B1CB;(9分)
(2)三棱锥A1-AB1C的体积VA1-AB1C =VB1-A1AC=
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
6 |
点评:本题主要考查了面面垂直的判定,线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,利用换顶点求解三棱锥的体积,这是高考在立体几何(尤其文科)的考查重点.
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