Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＜0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）证明f（x）在定义域上是减函数；
（Ⅱ）如果f(

3

3

)=1，求满足不等式f(x)-f(

1

x-2

)≥-2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x_2，判断f（x₂）＜f（x₁）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＜0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则  

x2

x1

＞1，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则  

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜0.（2分）
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f(x1)+f(

x2

x1

)=f(x2)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＜0，（4分）
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在定义域内是减函数．（6分）
（Ⅱ）由已知f（x•y）=f（x）+f（y），
可得∴2f(

3

3

)=f(

3

3

)+f(

3

3

)=f(

1

3

)=2．（8分）f(x)-f(

1

x-2

)≥-2，
∴f(x)+2=f(x)+f(

1

3

)=f(

x

3

)≥f(

1

x-2

)，（10分）
∵f（x）在定义域内是减函数，
∴

1 3 x≤ 1 x-2 x＞0 x-2＞0

∴2＜x≤3.（12分）

点评：本题要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x_2，判断f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．