Question

【题目】如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|＝|PA|.

(1)求a，b间的关系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）2a＋b－3＝0（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．

（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．

（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．

解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．

由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．

化简可得 2a+b﹣3=0．

（2）∵PQ====，

故当a=时，线段PQ取得最小值为．

（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．

而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，

此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．

故半径最小时⊙P 的方程为+=．