Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率。

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

（1）由椭圆的离心率可得，根据椭圆过点可得，求得， 后可得椭圆的方程．（2）将直线方程代入椭圆方程后整理可得，由得．由根与系数的关系求得弦MN的中点，由此可得直线AG的斜率，根据可得，由此可得，解得，即为所求范围．

试题解析：

（1）椭圆的离心率，

，即；①

又椭圆过点，

∴，②

由①②得， ，

∴椭圆的方程为．

（2）由消去整理得

，

直线与椭圆交于不同的两点，

，

整理得……（1）

设，弦MN的中点A，

则，

∴

∴，

∴点A的坐标为，

∴直线AG的斜率为，

又直线AG和直线MN垂直，

∴，

∴，

将上式代入（1）式，可得，

整理得，

解得．

∴实数的取值范围为．