Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N⁺，均有T_n＞

m2-3m+7

20

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，可求得a₁=S₁=8；当n≥2时，可求得a_n=S_n-S_n-1=-2n+10，检验后知n=1时适合，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=10-2n，利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），从而T_n=

1

2

（1-

1

n+1

），T_n＞

m2-3m+7

20

恒成立?（T_n）_min＞

m2-3m+7

20

，当n=1时，（T_n）_min=

1

4

，从而通过解不等式

1

4

＞

m2-3m+7

20

即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=9n-n²-（-n²+11n-10）=-2n+10…（5分）
又a₁=S₁=8，适合上式 …（6分）
所以a_n=10-2n（n∈N^*）…（7分）
（2）因为b_n=

1

n(2n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）…（10分）
所以T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）…（12分）
又因为对任意的n∈N^*，T_n＞

m2-3m+7

20

恒成立，
所以（T_n）_min＞

m2-3m+7

20

…（13分）
因为当n=1时，（T_n）_min=

1

4

，所以

1

4

＞

m2-3m+7

20

…（14分）
解之得1＜m＜2 …（16分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查裂项法求和与函数恒成立问题，考查推理分析与抽象思维能力，属于难题．