Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（ II）求数列的前n项和D_n；
（ III）若数列{b_n}的前n项和为S_n，设 T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1），得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由，知…+n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出D_n．
（III）由…，知T_n=S_2n-S_n=（……）-（…）=…．由此能够证明T_n+1＞T_n．
解答：解：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得 a_n=b_n+1代入 a_n-1=a_n（a_n+1-1），
得 b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得 b_n-b_n+1=b_nb_n+1．（2分）
∵b_n≠0，否则 a_n=1，与 a₁=2矛盾．
从而得 ，
∵b₁=a₁-1=1
∴数列 是首项为1，公差为1的等差数列．（4分）
∴，即．（6分）
（II）
∴…+n•2ⁿ（1）
∴…+n•2ⁿ⁺¹（2）（6分）
…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=，
∴．（8分）
（III）∵…，
∴T_n=S_2n-S_n=（……）-（…）
=…．（12分）
证法1：∵…（…+）
=
=
∴T_n+1＞T_n．（14分）
证法2：∵2n+1＜2n+2，
∴，
∴．
∴T_n+1＞T_n．（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法、错位相减法的灵活运用．