题目内容
10．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．
分析 （1）由题意得到关于a，c的方程，求出a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程y=kx+t，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N的横坐标的和与积，再由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，代入三角形面积公式，结合MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等可得k的值，把三角形面积转化为含有t的关系式，则求出使三角形OMN的面积最大时的k与t的值，进一步求得△OCD的面积．
解答 
解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}\\{\frac{a-c}{|a-2|}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{2}，c=1$，
∴b2=a2-c2=2-1=1，
则椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）如图，设直线l的方程为y=kx+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
△=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）=16k2-8t2+8＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由C，D两点到直线OG的距离相等，可知G为CD的中点，
由直线方程为y=kx+t，
得C（-$\frac{t}{k}，0$），D（0，t），
∴G（$-\frac{t}{2k}，\frac{t}{2}$），
又G为MN的中点，
∴$-\frac{t}{2k}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2kt}{1+2{k}^{2}}$，解得${k}^{2}=\frac{1}{2}$，
代入△=16k2-8t2+8＞0，可得t2＜2．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$．
原点O到直线y=kx+t的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}•2\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{|t|\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$．
代入${k}^{2}=\frac{1}{2}$，可得
${S}_{△OMN}=\frac{\sqrt{2}|t|\sqrt{2-{t}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{-{t}^{4}+2{t}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（-{t}^{2}-1）^{2}+1}$．
由t2＜2知，当t2=1时，S△OMN取得最大值，等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此时${t}^{2}=1，{k}^{2}=\frac{1}{2}$，$|k|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}|OC|•|OD|=\frac{1}{2}$$|\frac{t}{k}|•|t|$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数的关系求解，是压轴题．
小题狂做系列答案| A． | $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-y2=1 | B． | $\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1 | ||
| C． | x2-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-y2=1或$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1 |
| A． | 奇函数 | B． | 偶函数 | ||
| C． | 既不是奇函数，也不是偶函数 | D． | 既是奇函数，也是偶函数 |