题目内容

若函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．
解答：∵0＜a＜1，
∴f（x）=log_ax是减函数．
∴log_aa=3•log_a2a．
∴log_a2a= $\text{[math]}$ ．
∴1+log_a2= $\text{[math]}$ ．
∴log_a2=- $\text{[math]}$ ．
∴a= $\text{[math]}$ ．
故选A
点评：函数y=a^x和函数y=log_ax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（-x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a^-x和函数y=log_a（-x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．