Question

3．已知点P是圆C：x²+y²-8x-8y+28=0上任意一点，曲线N：x²+4y²=4与x轴交于A，B两点，直线OP与曲线N交于点M，记直线MA，MB，OP的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则k₁•k₂•k₃的取值范围是[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．

Answer 1

分析 化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，设出OP所在直线斜率，由OP与圆相切求出k的范围，联立直线方程和椭圆方程，求出M的坐标，得到MA，MB的斜率，作积后求得答案．

解答 解：如图，
由圆C：x²+y²-8x-8y+28=0，得（x-4）²+（y-4）²=4，
由曲线N：x²+4y²=4，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴A（-2，0），B（2，0），
设k₃=k，则OP方程为y=kx，
由C（4，4）到直线kx-y=0的距离d=$\frac{|4k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得：$k=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$或$k=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
∴k的取值范围为[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得M（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）（不妨取M为第一象限的点），
则${k}_{1}=\frac{\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}}{\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}+2}=\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，${k}_{2}=\frac{\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}}{\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴k₁•k₂•k₃ =$\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}•\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}•k$=$-\frac{k}{4}$．
∵k∈[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]，
∴k₁•k₂•k₃ =$-\frac{k}{4}$∈[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．
故答案为：[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆，与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．