Question

已知、分别是双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过且与垂直的直线交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．

   （1）求的取值范围；

   （2）设点P是直线、的交点为，求证：＞；

   （3）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

解析：（1）由条件知，、的方程分别为、．

由，得．

由于交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，

所以＜0，解得＜3．

由，得．

由于交双曲线的左、右两支分别于D、B两点，

所以＜0，解得＞．

因此，＜＜3，的取值范围是．

（2）由条件知，，点P在以为直径的圆上．

所以．

因此＞＝．

（3）由（1）知，．

．

∴四边形ABCD的面积．

由于＝．当且仅当

，即时，等号成立．

所以，四边形ABCD面积的最小值为18．