Question

【题目】已知函数（且）.

（1）判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；

（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在.

【解析】

（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；

（2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；

（3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.

（1）由解得或，即函数的定义域为；

又，

所以，

因此，所以，

所以函数为奇函数；

（2）令，任取，

则，

因为，，，所以，

即函数在上单调递增；

又，所以单调递减，

根据同增异减的原则，可得：在上单调递减；

（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；

所以，

因此是方程的两根，

即在上有两个不同解，

设，则，解得.

所以存在，使得当的定义域为时，值域为.