Question

18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（$\sqrt{3}$，1），点B是x轴上一点，AB⊥OA，△OAB的外接圆为圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）求圆C在点A处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设B（a，0），
由AB⊥OA，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1）•（a-$\sqrt{3}$，-1）=$\sqrt{3}$a-3-1=0，∴$a=\frac{4}{\sqrt{3}}$
即△OAB的外接圆为圆C的圆心为C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即可求解．
（2）由k_AC=$\frac{1}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，得圆C在点A处的切线斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即可得圆C在点A处的切线方程．

解答 解：（1）设B（a，0），
∵AB⊥OA，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1）•（a-$\sqrt{3}$，-1）=$\sqrt{3}$a-3-1=0，∴$a=\frac{4}{\sqrt{3}}$
∵△ABO是Rt△，∴△OAB的外接圆为圆C的圆心为C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴圆C的方程为：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+y²=$\frac{4}{3}$；
（2）∵k_AC=$\frac{1}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，∴圆C在点A处的切线斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴圆C在点A处的切线方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．

点评 本题考查了圆的方程，圆的切线方程，属于中档题．