题目内容
对于函数f(x)＝ax2(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．
(1)当a＝2，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y＝kx＋
是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
答案：
解析：
提示：
解析：
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解：∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)， (1)当a＝2，b＝－2时，f(x)＝2x2－x－4． 设x为其不动点，即2x2－x－4＝x． 则2x2－2x－4＝0． ∴x1＝－1，x2＝2．即f(x)的不动点是－1，2． (2)由f(x)＝x得ax2＋bx＋b－2＝0． 由已知，此方程有相异二实根，Δa＞0恒成立，即b2－4a(b－2)＞0． 即b2－4ab＋8a＞0对任意b∈R恒成立． ∴Δb＜0，∴16a2－32a＜0． ∴0＜a＜2． (3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)， |
提示：
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分析：(1)将a、b之值代入f(x)，则f(x)为具体函数，根据题意，只需解方程f(x)＝x，其根即为不动点；(2)要考虑用判别式及恒成立问题来处理；(3)涉及到关于点、线的对称问题，可借助于解析法(坐标法)解决． 解题心得：本题是2002年上海春招试题的改编题，第(1)问是很容易的，只要理解了“不动点”，即f(x)＝x的根，余下的便是解方程问题；对于ax2＋bx＋c＞0，x∈R恒成立问题，即是 |
可转化为解不等式(组)；第(3)问题解决的切入点是线段AB的中点
在直线
上．因为要求b的范围，故将b视为a的函数，利用均值定理求得b的最小值．
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(a∈R)：
(aÎ
R)：
x4＋
x3＋ax2－2x－2，其中a为实常数，已知函数
取函数f(x)＝a－|x|(
a>1)．当K＝
时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( )