Question

设直线过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，且交C于点M，N，设．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直线方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直线MN在y轴上截距的取值范围；
（III）抛物线C的准线l与x轴交于点E，求证：的夹角为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）p=2时，抛物线y²=4x，F（1，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），，由此能求出MN所在的直线方程．
（II）由=，由此能求出直线MN在y轴上截距的取值范围．
（III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有，，由，知，由此能求出的夹角为定值90°．
解答：解：（I）p=2时，抛物线y²=4x，F（1，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由②得y₁²=λ²y₂²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₁=λ²x₂．③
联立①、③解得．
（II）由（I）及=，
当，
令
（III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有，，
由于，∴，
∵，∴，
∴的夹角为定值90°．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．