Question

已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[-1，2]

B．（-∞，1]

C．（0，2]

D．[-1，+∞）

Answer 1

分析：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以游离参数将问题转化为：a≥

y

x

-2(

y

x

)2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y

x

-2(

y

x

)2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 t=

y

x

，则1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2(t-

1

4

)2+

1

8

∴y_max=-1，
∴a≥-1
 故选D．

点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，综合性强，难度大，易出错．在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．