Question

已知双曲线C₁和椭圆C₂有相同的焦点F₁(－c，0)，F₂(c，0)(c>0)，两曲线在第一象限内的交点为P，椭圆C₂与y轴负方向交点为B，且P、F₂、B三点共线，F₂与的比为1：2，又直线PB与双曲线C₁的另一交点为Q(如图)，若|F₂Q|=，求双曲线C₁，椭圆C₂的方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

依题意，可设C2：=1(a>b>0)，其中a2－b2=c2，C1：(m，n>0)，且m2+n2=c2，P(x0，y0)。 显然B（0，－b）,由，得由定比分点公式，得P()。 由P∈C2，∴=1 ∴a2=3c2，b2=2c2， 由P∈C1有 ∴4n4+7c2n2－2c4=0 ∴(4n2－c2)(n2+2c2)=0， 即 直线PF2的方程即为y=，将其代入双曲线方程，有 20x2－48cx+27c2=0∴x=c或x=c ∴()， 由距离公式及，得c2=4， ∴ 所求双曲线C1的方程是－y2=1，椭圆方程是=1。