题目内容

已知双曲线C₁和椭圆C₂： $数学公式$ 有公共的焦点，它们的离心率分别是e₁和e₂，且 $数学公式$ ，求双曲线C₁的方程．

解：椭圆方程 $\text{[math]}$ 得
∴c₁= $\text{[math]}$ =5
∴焦点坐标为（5，0）（-5，0），离心率e₁= $\text{[math]}$
∴设双曲线方程为 $\text{[math]}$
则半焦距c₂=5
由于 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2，a=3
b= $\text{[math]}$ =4
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$
分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标和离心率，进而可知双曲线的半焦距，设出双曲线的标准方程，根据离心率 $\text{[math]}$ 求得a，再利用c求得b．答案可得．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．．在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．

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