Question

A－BCD是三棱锥，H，F分别是AC，BD的中点，过H，F且平行于AD的平面分别交AB，CD于E，G．(1)求证：平面EFGH∥BC；(2)求证：平面EFGH把三棱锥A－BCD分成等体积的两个多面体．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)AD∥平面EFGH，AD平面ACD，平面EFGH∩平面ACD=HG，∴AD∥HG．∵H是AC的中点，∴G是CD的中点，F是BD的中点，同理可知E是AB的中点，于是BC∥FG，∵FG平面EFGH，∴BC∥平面EFGH． 　　(2)由(1)可知EHBC，FGBC，∴EHFG，即EFGH是平行四边形，∴，FC是△BCD的中线，∴，于是①．又设直线AC与平面EFGH所成的角为α，则点A，C到平面EFGH的距离分别为AHsinα和CHsinα．∵AH=CH，∴点A，C到平面EFGH的距离相等，∴②．由①、②两式可知平面EFGH把三棱锥A－BCD分成等体积的两个多面体．