Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=

2

，b=1，f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，求sinB的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=sin（2x-

π

6

），从而可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，由f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，可求得cosA=

1

3

，sinA=

2 2

3

，利用正弦定理即可求得sinB的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）由f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，
得sin[2（

A

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（A+

π

2

）=cosA=

1

3

，
∴在△ABC中，sinA=

2 2

3

，
又因为a=

2

，b=1，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

b

a

sinA=

1

2

×

2 2

3

=

2

3

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期性及其求法，着重考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．