Question

15．在直角坐标系xOy中，直线C₁：x+y=1+$\sqrt{3}$，圆C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线C₁与圆C₂的交点为A，B，且A为OM的中点，求△OBM的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）直线C₁与圆C₂的极坐标方程联立可得cosθ+sinθ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，求出θ，即可求△OBM的面积．

解答 解：（Ⅰ）直线C₁：x+y=1+$\sqrt{3}$，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1+$\sqrt{3}$，
圆C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为x²+y²=4，极坐标方程为ρ=2；
（Ⅱ）直线C₁与圆C₂的极坐标方程联立可得cosθ+sinθ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB=$\frac{π}{6}$，
∵A为OM的中点，∴|OM|=4，
∴△OBM的面积$\frac{1}{2}$|OM||OB|sin$\frac{π}{6}$=2．

点评 本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．