Question

等差数列{x_n}的前n项和记为S_n，等比数列{b_n}的前n项和记为T_n，已知x₃=5，S₃为9，b₂=x₂+1，∅（lim，n→∞） T_n=16．
（1）求数列{x_n}的通项x_n；
（2）设M_n=lgb₁+lgb₂+…+lgb_n，求M_n的最大值及此时的n的值；
（3）判别方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出两个基本量x₁和d．再求通项公式．
（2）注意到lgb_n是等差数列，再根据等差数列前n项和是二次函数的知识去解题．
（3）判断方程无解时注意到范围的限制，可分情况讨论之．

解答：解：（理）（1）

x3=5 S3=9

?

x1+2d=5 3x1+3d=9

解得

x1=1 d=2

∴x_n=2n-1
（2）由题意，b₂=4=b₁q结合无穷等比数列各项和，

b1

1-q

=16，解得

b1=8 q= 1 2

易得b_n=8(

1

2

)^n-1
而{lgb_n}是以lg8为首相，lg0.5为公差的等差数列，
∴M_n=lg8×n+0.5n（n-1）lg0.5-lg0.5=-0.5lg2[（n-3.5）²-49/4]
∴n=3或4时有最大值6lg2；
（3）sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
1°n=1时，sin²1+cos1=0不成立
2°n=2时，sin²3+3cos3+1=4，1-cos²3+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立
3°n≥3放缩法sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+2n-1+1＜1+2n＜n²
综上，无解．

点评：本题中考查了等比数列和等差数列的基本知识点及两者的联系．第三问是对不等式放缩的运用技巧，根据所求结论的形式进行放缩．