Question

已知△ABC的面积为3，且满足0≤

AB

•

AC

≤6，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面积公式及向量的数量积公式求出面积和数量积代入已知求出θ的范围．
（Ⅱ）利用三角函数的二倍角的余弦公式将f（θ）中的平方降幂，利用三角函数的和角公式化简函数，利用三角函数的有界性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）设三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
则有

1

2

bcsinθ=3
0≤bccosθ≤6，
可得0≤cosθ≤sinθ，
∴θ∈[

π

4

，

π

2

]
（Ⅱ）f（θ）=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ=[1-cos(

π

2

+2θ)]-

3

cos2θ
=(1+sin2θ)-

3

cos2θ=sin2θ-

3

cos2θ+1=2sin(2θ-

π

3

)+1
∴θ=

5π

12

时，f（θ）_max=3，
当θ=

π

4

时，f（θ）_min=2

点评：本题考查三角形的面积公式；向量的数量积公式；三角函数的二倍角公式；三角函数的诱导公式及和差角公式．