已知f(x)=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|≥a2-3a恒成立.求实数a的取值范围,=4.且m＜n.求m+n的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．

分析（Ⅰ）由条件利用函数的单调性求得f（x）的最小值为-2，再根据-2≥a²-3a，求得a的范围．
（Ⅱ）根据函数的单调性f（m）≤2，f（n）≤2，结合f（m）+f（n）=4，可得m＜n≤-$\frac{5}{2}$，由此求得m+n的范围．

解答解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，即|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|≥a²-3a恒成立．
由于f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≥\frac{3}{2}}\\{-x-\frac{1}{2}，-\frac{5}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\\{2，x≤-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值为-2，
∴-2≥a²-3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤-$\frac{5}{2}$，∴m+n＜-5．

点评本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．

练习册系列答案

20．函数$y=\frac{{\sqrt{1-x}}}{x}$的定义域为（　　）

17．若f（x）=5sinx，则$f'（\frac{π}{2}）$=0．

4．$向量\vec a=（-1，1），向量\vec b=（2，0），则\vec a•（\vec b+2\vec a）$=（　　）

	A．	命题“若x²-5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x²-5x+6≠0”
	B．	命题“已知x、y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题”
	C．	已知命题p和q，若p∨q为真命题，则命题p与q中必一真一假
	D．	命题p：?x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0，则￢p：?x₀∈R，x₀²+x₀+1≥0

1．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）满足f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），且在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：
p₁：f（x）在区间[0，2π]上单调递减；
p₂：f（x）的最小正周期是4π；
p₃：f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
p₄：f（x）的图象关于点（$\frac{4π}{3}$，0）对称．
其中的真命题是p₂．

18．已知函数f（x）=log_a（x-3）+5（a＞0且a≠1）的图象过定点P，角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点P，则$\frac{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}$的值为（　　）

19．函数y=ax-cosx为R上的减函数的a的范围为a＜-1．

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