Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上两点，且，O为坐标原点，已知点M的横坐标为．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，设．若对于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（II）根据=，则 以上两式相加后两边再同时除以2就得到S_n，从而求出S₂₀₁₁；
（III）先求出a_n，代入不等式ka_n³-3a_n²+1＞0，要使不等式n³-3n+k＞0对于任意n∈N^*恒成立，即使k＞（-n³+3n）_max即可求出k的范围．
解答：解：（I）依题意由 知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即
∴
即M点的纵坐标为定值 ．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时
∴
两式想加得，2S_n=n-1

∴S₂₀₁₁==1005
（III）．
∴a_n=                                                                                
若对于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，
∴不等式n³-3n+k＞0对于任意n∈N^*恒成立，
即k＞（-n³+3n）_max
∴k＞2
即实数k的取值范围为（2，+∞）
点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．