Question

已知实数x，y满足x²+y²-4x+2y+1=0．
（Ⅰ）求x²+y²的最大值和最小值．
（Ⅱ）求4x+3y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x²+y²-4x+2y+1=0，知

x=2+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ为参数，故x²+y²=（2+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²=9+4

5

sin（θ+α），tanα=-2．由此能求出x²+y²的最大值和最小值．
（Ⅱ）由

x=2+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ为参数，知4x+3y=4（2+2cosθ）+3（-1+2sinθ）=5+10sin（θ+β），tanβ=

3

4

．由此能求出4x+3y的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵x²+y²-4x+2y+1=0的圆心为（2，-1），半径r=

1

2

16+4-4

=2，
∴

x=2+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ为参数，
∴x²+y²=（2+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²
=4+8cosθ+4cos²θ+1-4sinθ+4sin²θ
=9-4sinθ+8cosθ
=9+4

5

sin（θ+α），tanα=-2．
∴x²+y²的最大值是9+4

5

，最小值是9-4

5

．
（Ⅱ）∵

x=2+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ为参数，
∴4x+3y=4（2+2cosθ）+3（-1+2sinθ）
=8+8cosθ-3+6sinθ
=5+10sin（θ+β），tanβ=

3

4

．
∴4x+3y的最大值是15，最小值是-5．

点评：本题考查代数式的最大值和最小值的求法，具体涉及到圆的参数方程、三角函数、圆的简单性质等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．