Question

设z是虚数,ω=z+是实数,且-1＜ω＜2,

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设u=,求证:u为纯虚数;

(3)求ω-u²的最小值.

Answer 1

(1)解:设z=a+bi,a、b∈R,b≠0,?

则ω=a+bi+

,?

因为ω是实数,b≠0,所以a²+b²=1,即|z|=1.?

于是ω=2a,-1＜ω=2a＜2,-＜a＜1,?

所以z的实部的取值范围是(-,1).?

(2)证明:u=

因为a∈(-,1),b≠0,所以u为纯虚数.?

(3)解:ω-u²=2a+

,?

因为a∈(-,1),所以a+1＞0.故ω-u²≥2?

当a+1=,即a=0时,ω-u²取得最小值1.