Question

设z是虚数，ω=z+是实数，且-1＜ω＜2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设u=,求证:u为纯虚数;

(3)求ω-u²的最小值.

Answer 1

思路解析:条件与复数的概念有关系,不妨设z=a+bi(a、b∈R)且b≠0,从而转化为实数问题.

(1)解:设z=a+bi(a、b∈R)且b≠0,则ω=a+bi++(b-)i.

∵ω是实数，b≠0,∴a²+b²=1,即|z|=1.于是ω=2a,-1＜ω=2a＜2.

∴＜a＜1.故z的取值范围是(,1).

(2)证明:u=

∵a∈(,1),且b≠0,∴u为纯虚数.

(3)解:ω-u²=2a-()²=2a+

=.

∵＜a＜1，∴a+1＞0.

于是ω-u²=2(a+1)+-3≥2×2-3=1.

当且仅当a+1=，即a=0时等号成立.ω-u²的最小值为1，此时z=±i.