Question

4．已知函数f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$的最小正周期为π．
（1）求f（x）在[-π，π]上的单调增区间；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数，根据最小正周期为π求出ω的值，得到解析式，当x∈[-π，π]时，求内层整体的范围，结合三角函数的性质求单调增区间；
（2）由题意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，等价于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，只需要求f（x-$\frac{π}{4}$）_max的值即可通过解不等式得到m的取值的范围．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
化简得：f（x）=4cosωx（sinωxcos$\frac{2π}{3}$+cosωxsin$\frac{2π}{3}$）$-\sqrt{3}$
=-2sinωxcosωx+$2\sqrt{3}$cos²ωx$-\sqrt{3}$
=-sin2ωx+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2ωx$-\sqrt{3}$
=2cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵最小正周期为π，即$T=π=\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
当x∈[-π，π]时，则：2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]
由余弦函数图象可知：[$-\frac{7π}{12}$，$-\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]单调增区间．
（2）由题意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，等价于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，
∵f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=2cos（2x$-\frac{π}{3}$）
又∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴2x$-\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
那么：f（x-$\frac{π}{4}$）_max=2
所以有：|m-2|＜2，解得：0＜m＜4
故m的取值范围是（0，4）．

点评 本题主要考查了三角函数的化简能力以及余弦函数性质的运用，值域的求法来解决恒成立的问题．属于中档题．